Falcão (falcao) wrote,
Falcão
falcao

о Парадоксе Лжеца

Данный пост является осуществлением моего давнего намерения: поделиться со своими читателями некоторыми соображениями насчёт классического Парадокса Лжеца в логике. Этот пост я делаю открытым, как и его обсуждение, которое идёт отдельно, и потому комментарии можно оставлять только там. Как обычно, я пишу о логической проблематике без каких-либо сведений исторического плана (об этом парадоксе написаны буквально "горы" литературы), а рассуждать стараюсь "с нуля". Поэтому пост должен быть всем доступен -- никакой предварительной подготовки или специальных знаний он не требует. Основную часть, идущую под "катом", я снабжаю нумерацией отдельных пунктов -- для удобства ссылок.

Итак, в чём состоит этот парадокс? Предположим, что некто произнёс фразу "я лгу", имея в виду, что он лжёт в момент произнесения этих слов. Лжёт он, или говорит правду? Нетрудно убедиться в том, что оба варианта приводят к противоречию.

В самом деле, если человек солгал, то сообщённая им информация ложна. А сказал он нам, что лжёт. Тем самым, это должно быть неправдой, но тогда это означает, что человек не солгал, а сказал правду. Но это противоречит нашему изначальному предположению, что он соглгал.

Тогда, может, он сказал правду? Но тогда истиной должно быть то, что он поведал нам нечто ложное -- по самому содержанию высказывания. Выходит, что он всё-таки солгал, то есть мы снова имеем противоречие.

То есть суть парадокса совершенно проста: не годится ни одно из двух заключений. Часто говорят, что этот парадокс вообще неразрешим в рамках "обычной", то есть двузначной логики. Я же попробую ниже проанализировать ситуацию как она есть, подходя как бы с позиции "естествоиспытателя". Который ничего не "изобретает", а просто наблюдает некоторые факты и делает надлежащие выводы.

Забегая вперёд, я скажу, что очень многое из сказанного ниже будет выглядеть очень знакомым для тех, кто что-либо читал об этом парадоксе или думал в соответствующем направлении. Я заведомо не претендую на высказывание чего-то очень "оригинального" или "неожиданного". Свою задачу я вижу совсем в другом: показать, как можно рассуждать аккуратно и по возможности "вынужденно", ничего не "изобретая", и не разбредаясь по сторонам. Я ясно вижу здесь некий "магистральный" путь, и моя цель состоит лишь в том, чтобы с него не сбиться. На этом пути не будет какой-либо "экзотики" или "невероятных красот", но его полезно пройти хотя бы один раз "медленным шагом". Вместо блужданий по "канавам" и "буеракам" мысли.

Для многих людей с "нормальным" восприятием сразу очевидно, что в этом парадоксе наличествует всего лишь некий "софизм", и что глубокого содержания здесь быть не может. В какой-то мере это так и есть, но означает это лишь то, что анализ парадокса вряд ли может открыть нам какие-то новые сведения об окружающей нас материальной действительности. И это верно, так как в ходе исследования мы не узнаем ничего нового ни о лошадях, ни о звёздах, ни об апельсинах. Зато мы сможем понять какие-то вещи, касающиеся "аппарата" наших рассуждений. Который здесь явно "пробуксовывает", и хотелось бы понять, по какой именно причине.

А сфера рассуждений, хотя она и не "материальна" в каком-то смысле, тоже очень важна в самой обычной жизни. Потому что очень часто бывает, что люди в процессе общения не умеют разрешить какую-то трудность, которая по своему характеру напоминает то, что бывает в ряде парадоксов. В частности, я считаю очень полезной привычку рассуждать "замедленно", не делая "скоропалительных" выводов. Очень часто человеку кажется, что для какого-то вывода имеются достаточные основания, в то время как более глубокий анализ показывает, что некий вывод действительно следует, но или более "слабый" по характеру заключений, либо вообще другой. А иной раз бывает так, что даже противоположный! :)


1. Прежде всего, давайте придадим самому парадоксу чуть более удобную "безличную" форму. Имеется фраза, которую мы далее будем обозначать буквой Ф, и которая звучит следующим образом:

Данная фраза ложна.

Как мы выяснили выше, у нас возникает логическое противоречие при попытке выяснить, является ли фраза Ф истинной или ложной. Рассуждение на этот счёт было совсем простое, и я не вижу необходимости его повторять. Однако я хочу заметить, что, проводя его, мы неявно опирались на один принцип, который я далее буду называть принципом семантической корректности. Я не буду его как-либо формулировать в "академическом" виде, а просто раскрою суть. Пусть у нас имеется фраза, которая по своему грамматическому строению имеет вид "суждение X истинно", где под X может скрываться любое осмысленное положение (типа "2x2=4"). Тогда мы считаем, что обе фразы -- сама фраза X, и фраза, сообщающая об истинности X -- имеют одно и то же истинностное значение. То есть они либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Хотя этот принцип может показаться самоочевидным, не лишним будет прояснить, почему мы верим в то, что он справедлив. Можно дать такое обоснование: представим себе, что в наших данных имеется расхождение, и фразу X мы считаем истинной, а фразу "истинно, что X" -- ложной (или наоборот). Тогда мы можем свои данные скорректировать, выяснив истинное положение дел и исправив имеющуюся ошибку. То есть мы можем согласовать истинностные значения обеих фраз. Именно на возможности такой "перестройки", то есть на вере в возможность исправления ошибок, базируется и вера в "принцип семантической корректности".

2. Итак, что же мы имеем? Нам не подходит ни один из выводов относительно фразы Ф -- при условии, что мы не хотим впадать в ситуацию логического противоречия. Тогда напрашивается очень простой вывод, который чаще всего и делают, а именно: фраза Ф не является ни истинной, ни ложной. Но может ли такое вообще быть? Ответ в достаточной степени очевиден: конечно, да. Мы сплошь и рядом встречаемся с фразами, например, бессмысленными, которые не сообщают никакого факта. Бывает и так, что фраза выглядит осмысленной, но "недопрояснённой". Например, кто-то говорит: "идёт дождь". Мы не можем точно сказать, так ли это, если не знаем, о каком месте и времени идёт речь; что вообще понимается под "дождём" (скажем, следует ли считать таковым несколько упавших с неба капель?) и так далее.

Здесь я хочу высказать ещё один важный принцип, который можно назвать принципом ситуационности. Под "ситуацией" допустимо понимать совокупность всех мало-мальски значимых обстоятельств, а сам принцип состоит в том, что большинство произносимых нами фраз должны подразумевать выполненными некоторые обстоятельства. Которые иногда указываются явно, а иногда молчаливо подразумеваются. Например, в истинах арифметики мы всегда стандартно трактуем цифры, принцип записи чисел, смысл арифметических операций и прочее. В более "полной" форме вместо "2x2=4" можно было бы говорить "2x2=4, при стандартном истолковании символов". А вместо "идёт дождь" -- если это осмысленное сообщение, имеется в виду, что "идёт дождь в ситуации S", где сама ситуация считается заданной.

Итак, я значение "принципа ситуационности" вижу в том, чтобы во всякой фразе при желании уметь увидеть "подразумеваемое". Мы всегда имеем некий "скрытый параметр" в виде некой ситуации, к которой относится фраза. Даже когда речь идёт о неких "незыблемых" принципах, то подразумевается, что они справедливы для всех ситуаций. А вне ситуаций вообще не может быть никакой "истины" -- при желании, это можно считать выражением самого нашего принципа.

Он удобен, в частности, тогда, когда ситуация может поменяться (например, дождь идти перестал), и тогда "та же самая" в словесном выражении фраза может стать ложной -- при том, что она была истинной ранее. А "фокус" тут в том, что на самом деле мы имеем не одну фразу, а несколько. "Дождь идёт в ситуации S" выражает одну мысль, а "дождь идёт в ситуации S*" -- уже другую.

3. Вернёмся, однако, к парадоксу. Итак, мы решили отнести фразу Ф к какой-то третьей категории, то есть мы не считаем её ни истинной, ни ложной. Важно будет попытаться выяснить, а что же это за категория, и как её лучше всего именовать. Я пока не тороплюсь называть такие фразы "бессмысленными" по ряду причин. Можно было бы временно называть их "неопределёнными". Но тут нам могут сказать, что вы, фактически, отказались от двузначной логики в пользу трёхзначной, и не удивительно, что парадокс исчез.

Я с таким мнением совершенно не согласен. Использование двузначных чисел типа 10, 11, 12 и так далее не означает отказа от десятичной системы счисления в пользу какой-то другой. Всё как раз наоборот: это наглядный пример использования десятичной системы записи чисел! Но предрассудок о выходе в сферу "многозначной логики" очень распространён, и я предпочитаю прояснить этот вопрос до конца, прежде чем двигаться дальше.

Прежде всего, у нас как была "истина" и "ложь" в качестве двух значений, так и осталась. Но зададим себе вопрос: а к чему мы "прилагаем" эти понятия? Ведь не к чему попало, а только к фразам, которые что-то нам сообщают. И тогда сообщение получается верное или неверное. Мы ведь не спрашиваем, является ли истинным стол, или случайный набор символов? Значит, мы изначально выделяем какую-то часть фраз, которые в нашем понимании могут быть истинными или ложными, и для таких фраз в логике имеется вполне общепринятый термин: они называются высказываниями. Обычно в элементарных курсах математической логики с того и начинают, что вводят этот термин. Он как бы является даже не математическим, а "доматематическим". Это своего рода "пропуск" в логику: пока мы не имеем высказываний, логикой заниматься просто рано. И как только мы ступили на "твёрдую почву" высказываний, у нас появляется два (а не три, не десять) истинностных значения.

То есть я предлагаю (не расходясь в этом со стандартным толкованием) называть "высказыванием" такую фразу, о которой имеет смысл говорить, истинна она или ложна. Я ещё "от себя" добавляю, что фраза может зависеть от ситуации, и этот аспект желательно учитывать. То есть такая область как "логика высказываний" по определению двузначна. Фактически, происходит следующее: мы сначала как-то подразделяем все фразы на две категории: "высказывания", и "все остальные фразы, не считающиеся высказываниями". И только потом уже для высказываний вводим дополнительное подразделение на истинные и ложные. Как мы видим, тут нигде не происходит отступления от двузначности как принципа.

4. Но то, что я написал выше, ни в коей мере не следует считать полным разрешением Парадокса Лжеца. Мы его не столько устранили, сколько "отодвинули", перенеся в другую область. Дело в том, что саму формулировку можно слегка модифицировать, и та же самая трудность возникает снова.

А именно, я предлагаю рассмотреть новую фразу, обозначив её через Ф', которая звучит так:

Данная фраза не является истинным высказыванием.

Проанализируем её с точки зрения смысла: что она утверждает? В нашей новой ситуации, когда мы учли тот фактор, что фраза может не быть высказыванием, и тогда ей никакое истинностное значение не сопоставляется, возможно три логических варианта.

1) Фраза Ф' является истинным высказыванием.

Здесь получается то, что она отрицает свой собственный смысл, то есть возникает логическое противоречие.

2) Фраза Ф' является ложным высказыванием.

И здесь получается противоречие, так как по смыслу должно получиться, что фраза отрицает собственную неистинность, а потому является истинным высказыванием.

3) Фраза Ф' не является высказыванием -- ни истинным, ни ложным.

Здесь выходит, что наша фраза сообщает нам чистую правду: она говорит, что не является истинным высказыванием, то есть не относится к категории высказываний, которые истинны. Но она вообще не входит в категорию высказываний в рассматриваемом случае, и потому "на деле" она получается истинной!

То есть парадокс остался.

Однако, если вглядеться внимательно, то можно заметить одно очень существенное изменение, которое произошло по сравнению с предыдущей версией. Дело в том, что истинные высказывания и ложные высказывания отделяет своего рода "пропасть". Мы не в силах превратить одно в другое, не искажая правды; эти понятия вообще даже не "граничат". Совсем не то свойственно "границе" между положениями "осмысленными" и "бессмысленными". Можно привести сколько угодно примеров того, как некая фраза, не имевшая смысла вчера, стала считаться вполне осмысленной сегодня, то есть она была переведена в разряд высказываний. Например, мы могли ввести какое-то новое обозначение или термин -- так происходит сплошь и рядом. То есть "граница" между высказываниями и "всем остальным" достаточно "подвижная". Само понятие "высказывания", если брать его "целиком", является "нечётким" -- примерно таким, как понятие "куча песчинок". Применение классической логики к сфере "нечётких" понятий ведёт к парадоксам почти неизбежно, то есть тут нечему даже удивляться. Однако каков тут выход из положения? Дело в том, что "границу", без которой все рассуждения теряют смысл, установить можно, и так почти всегда поступают. Например, работают не с высказываниями "вообще", а с чётко определёнными "высказываниями данного языка", которые строятся по явно заданным правилам.

Таким образом, мы должны прийти к заключению, что границу между фразами, которые будут высказываниями, и которые не будут, установить можно, но это осуществимо, вообще говоря, очень многими способами. И эта проведённая нами "черта" будет не "бытийственной", то есть заданной "природными" или "божественными" обстоятельствами, а она будет "условной", "договорной".

5. Разумеется, нельзя сказать, что нашу "границу" можно провести вообще как попало. Скажем, к числу высказываний должно быть отнесено то, что нас в первую очередь интересует, то есть то, что мы хотим исследовать. Соответственно, какие-то вещи, нас не интересующие, можно "вынести за пределы". В принципе, можно было бы задаться целью провести эту "границу" как можно лучше, то есть так, чтобы как можно большее число фраз попало в категорию "осмысленных" -- при этом получается, что мы как бы стали "больше знать". Кто-то может даже задаться вопросом о том, нельзя ли построить некую "совершенную" систему этого рода. В которой мы бы знали как можно больше (а "в идеале" -- в каком-то смысле даже "всё"), но чтобы при этом у нас не возникало ошибок, противоречий и прочего. То есть у кого-то может остаться намерение провести когда-нибудь такую Границу, относительно которой никто не усомнится, что именно она -- "наилучшая", и что её установили "навека" и больше не будут сдвигать или корректировать.

Но следует признать, что даже если такая мечта в принципе осуществима, на данный момент мы её не имеем. И потому удобно ввести специальный термин для обозначения "текущего положения дел". То есть ситуации, когда "граница" между высказываниями и "всем остальным" проведена как-нибудь. Я предлагаю назвать такое положение дел нашей системой знаний. При этом допускается, что она может содержать какие-то временные несовершенства, то есть какие-то ложные положения могут по ошибке считаться истинными (так часто бывает), на какие-то вопросы мы можем не знать ответа, а какие-то истинные положения могут по тем или иными причинам таковыми не считаться. Но мы готовы работать и работать, чтобы довести свою "систему" до какого-то "совершенства".

Теперь посмотрим с этой точки зрения на наш парадокс. Прежде всего, у нас сейчас в классификации имеется три вида фраз, а именно такое "чёткое" подразделение на три категории мы и обозначили как "система знаний". Поэтому сама фраза Ф' становится уже не "абсолютной", а она содержит в себе "скрытый параметр" S, который и есть та "система знаний" (или "ситуация"), о которой мы пытаемся говорить.

Заметим теперь простую вещь: предположим, что мы в какой-то момент "ничего не знаем", то есть мы никакое утверждение не рискнули назвать "истинным". Или, возможно, мы только начали работу, и в этот момент список истинных положений пуст. По ходу дела мы можем вносить туда что-то, в истинности чего мы не сомневаемся. Например, что будет с фразой Ф', если трактовать её по отношению к "начальной" системе S0, в которой пока ни одной фразе не придан статус "высказывания"?

Фразу мы теперь читаем так: "данная фраза не является истинным высказыванием по отношению к системе S0", и это не что иное как чистая правда. На основании этого, мы вправе присвоить такой фразе статус высказывания, причём истинного. Но "система знаний" при этом изменится. То есть, мы перейдём к какой-то новой системе, скажем, S1, где будет содержаться некая правдивая информация о предыдущей системе S0. Но для новой системы вновь может быть построена фраза, которая ставит новый вопрос. То есть, если мы спросим, истинна ли "по факту" фраза "данная фраза не является истинным высказыванием по отношению к системе S0", то надо просто посмотреть на то, как обстоит дело в нашей классификации и прийти к какому-то выводу. После чего пополнить "запас" наших знаний в случае необходимости.

Здесь я сразу же хочу сделать оговорку, потому что многим это наверняка напомнит разрешение Парадокса Лжеца в духе "теории типов". Но я считаю, что это сходство имеет лишь внешний характер. То есть я не говорю, что его нет -- я просто считаю, что оно не играет роли. Для тех, кто не знаком с самой идеей, я коротко изложу её суть: предлагается сначала взять некий набор истин "типа 0", включив туда нечто вполне "несомненное" (типа всё того же "2x2=4"). И далее рассмотреть фразу, в которой говорится об истинности именно в таком понимании слова. Поскольку фразы наподобие Ф являлись для нас "подозрительными", то мы их в число "истин" не вносили. И тогда окажется, что наша "самореферентная" фраза становится истинной, и ей присваивается статус истины, но уже "типа 1". Здесь понятие "истины" как бы "расслоилось" (что мне лично совершенно не нравится), и вместо одного понятия "истины" возникла "иерархия" истин разных "типов". Такая "этажерка" выглядит довольно искусственно, и её как минимум не следует подавать как пример чего-то "фундаментального" или "бытийственного". В ряде рассуждений, если за "истину" в каждый момент принимается истина "наивысшего" типа, получается "мерцающее" значение" для фразы Ф. То есть, после того как мы перешли к истине "типа 1", фраза была объявлена истинной, и тогда она начала себе противоречить. То есть она уже не будет истиной "типа 2", но будет истиной "типа 3", и так далее. Такой путь мне не кажется привлекательным, равно как и попытки объявить фразу Ф истинной "на 50%". Такой "компромиссный" путь кому-то может показаться остроумным, но я считаю его "капитулянтским", так как он сопряжён со "сдачей" некоторых важных логических и методологических принципов.

6. Теперь пора переходить к завершающей части. Итак, мы отвлеклись в тот момент, когда наблюдали процесс постепенного "пополнения" или "усовершенствования" нашей "системы знаний". Мы могли принять какое-то число положений и на этом остановиться. Мы также могли представить себе бесконечное число "шагов", на каждом из которых мы включали очередную фразу в состав "истин". Возможны даже более "хитрые" конструкции, когда бесконечный процесс, описанный выше, в какой-то момент полагается завершённым ("превед" Зенону! :)), и далее начинается новая бесконечная "серия". Но что произойдёт в итоге, если таковой вообще будет? Вот мы "строили, строили, и, наконец, построили". Возникла некая Система Знаний, которую будем теперь писать с большой буквы, и в которой, как кто-то может надеяться, всё уже в полном порядке. Мы знаем всё, что в принципе можно знать, и при этом не совершаем никаких ошибок и не впадаем в противоречие.

Обозначим эту Систему Знаний через S и порассуждаем относительно неё. Мы предполагаем, что у нас она "совершенна", то есть удовлетворяет двум условиям: она непротиворечива, то есть у нас нигде не возникает внутренних противоречий, а также нет "ошибок" -- когда истинное положение считается ложным или ложное считается истинным. Кроме того, она полна, то есть нет таких истинных "по факту" положений, которые таковым не считаются. Если бы мы их обнаружили, то это говорило бы о возможности усовершенствования, расширения нашей Системы.

И вот теперь, если выписать фразу Ф', отнесённую к "совершенной" системе S и вернуться к рассмотрению трёх случаев из пункта 4, то окажется, что первые два случая означают противоречивость системы, а третий -- означает её неполноту.

То есть теперь возникает уже не "зенонова", а "гёделева" ситуация. Я сразу хочу подчеркнуть, что известная теорема Гёделя о неполноте этим рассуждением, конечно же, не "покрывается". Её значение я вижу совершенно в другом, и оно имеет характер чисто математический. Но в доказательстве, конечно же, используется "самореферентный" приём, хотя и на другой основе. Он с виду напоминает Парадокс Лжеца, но буквального совпадения нет, а игнорировать тонкости в рассуждениях такого рода и применять "логическую кувалду" я бы не стал. Я предпочитаю работать здесь "ювелирными" инструментами, и за аналогиями видеть только аналогию, а не полное тождество. Тем не менее, теорема Гёделя постоянно применяется (зачастую очень некорректно) для каких-то выводов философского характера. О том, что, грубо говоря, невозможно описать все факты действительности "полно" и "непротиворечиво". И, если ограничивать свои намерения установлением именно такого (или похожего) вывода, то Парадокса Лжеца (с учётом всех "подводных камней" и тонкостей), вообще говоря, достаточно.

7. Итак, осталось по традиции сделать заключение. Парадокс Лжеца -- при корректном его рассмотрении -- вовсе не ведёт к логическому противоречию и вовсе не требует перехода к "многозначным логикам". Однако он так или иначе ведёт к "подрыву" веры в какие-то принципы. Не желая отказываться от наиболее фундаментальных из них, мы пришли к выводу о невозможности создания какой-то "совершенной" Системы Знаний. Всегда будет присутствовать либо что-то, противоречащее действительности, либо что-то истинное "по факту", но таковым не считающееся. Причём попытка "исправить" положение дел ни к чему не ведёт: решая какую-то одну проблему, мы самим этим действием неизбежно порождаем проблемы новые.

На уровне чисто философском, я бы сказал, что Парадокс Лжеца вдобавок подрывает ещё и веру в то, что любую ошибку можно исправить. Sapienti sat.

К ОБСУЖДЕНИЮ
Subscribe
Comments for this post were disabled by the author