Falcão (falcao) wrote,
Falcão
falcao

  • Mood:
  • Music:

вероятности без теории

Итак, пора, наконец, подвести обещанные итоги вероятностного опроса, проводившегося здесь. Сам опрос уже закрыт; я считаю, что он удался. В нём приняло участие 140 человек, и из них 34 правильно ответили на все три вопроса, что составляет почти 25%. То есть отвечали люди явно не наобум: при случайном выборе шанс ответить верно составляет 1 из 27, то есть около 4%.

Вот "доска почёта" с имена "отличившихся":

whitefluffy, beldmit, nickitos, knop, gdt, mysha_17, engimono, eliratus, mikev, fakir57, kcmamu, gul_chataj, dr_math, eslitak, p_govorun, shurik_s, rus4, spartach, lithovore, irishoak, fiviol, timur0, lanino, diana_shipilova, o_jovem_louco, dmitri_ldin, riateche, eyeless_watcher, barkpeeler, georgeyak, [Bad username: Andrey Khalyavin], [Bad username: Roma Lee], oni_yokai, mathclimber.

Итоги я старался подводить внимательно, но если вдруг кого забыл, то прошу сообщить.

Сообщаю верные ответы, их номера таковы:

для 18 карточек:
2. Более вероятен случай, что сумма чисел на карточках окажется нечётной
-- его дали 52 участника;

для 19 карточек:
3. Вероятности чётной и нечётной суммы чисел на карточках одинаковы
-- 114 участников;

для 20 карточек:
1. Более вероятен случай, что сумма чисел на карточках окажется чётной
-- 60 участников.

Замечу, что во всех трёх случаях наиболее "массовым" был ответ о равенстве вероятностей. В третьем случае, правда, он всего на один (по количеству) опередил верный ответ, а во втором вопросе, где ответ о равенстве правилен, он же явно "доминирует".

Очень интересно было наблюдать "динамику" по ходу опроса. Срели первой "волны" было много коллег-математиков, которые дали три верных ответа. Там же я обратил внимание на два имени своих френдов, относящихся к другим профессиям: мне показалось, что их верные ответы не были случайными. Так и оказалось: в комментариях они написали, как пришли к своим выводам. Я сейчас раскрыл все комменты, поэтому их можно увидеть. Ответить там я на многое не мог по причине занятости, но постараюсь это далее по мере возможности сделать хотя бы "выборочно".

Мне самому эта вероятностная задача встретилась на одном из математических форумов. Я сначала решил её при помощи производящих функций, то есть с использованием "техники". Вскоре после этого я придумал решение, не основанное на каких-либо вычислениях, а опирающееся только на соображения симметрии. Его я далее и излагаю под "катом". Считаю, что это рассуждение должно быть доступно всем без исключения, то есть никаких специальных знаний для его понимания не требуется. Замечу на всякий случай, что возможны и другие подходы -- я излагаю всего лишь один из множества возможных.

Начать хочу с того, что вероятности в каждом из трёх вопросов, разумеется, близки к 1/2, и на практическом уровне можно пренебречь разницей, когда она имеется. Но здесь вопрос касался, скажем так, "абсолютной точности". Даже если в одном случае вариантов триллион, а в другом -- триллион плюс один, то уже имеет место асимметрия.

Итак, у нас имеется 100 карточек, и мы из них случайным образом извлекаем какое-то количество -- например, 18 (или 19, 20 и т.п.). Нас интересует вопрос, что более вероятно получить в результате: набор с чётной суммой, или набор с нечётной суммой? То есть ответить на вопрос, каких наборов больше. Или, может быть, их строго поровну. Обычно так бывает, что для установления равенства надо придумать какое-то соответствие между наборами с тем и другим свойством, чтобы убедиться в том, что их имеется одинаковое количество. Соответствие это, конечно, должно быть взаимно однозначным, то есть каждому набору с чётной суммой должен соответствовать ровно один набор с нечётной суммой, и наоборот. Построением такого соответствия мы сейчас и займёмся, а потом посмотрим, что из этого получается.

Прежде всего, разобьём все наши числа на такие пары: {1,2}, {3,4}, {5,6}, ..., {99,100}. В каждой паре присутствует ровно одно нечётное и одно чётное число. Все возможные наборы (не важно, сколько туда входит чисел), разобьём на две категории. Одну из них, составляющую почти всегда ничтожное меньшинство, или даже вовсе отсутствующую, опишем вот в каких терминах: в неё входят те и только те наборы, которые целиком состоят их перечисленных выше пар. То есть пара {1,2} либо целиком входит в набор, либо ни одно из этих чисел в набор не входит. То же для пары {3,4} и для следующих пар. Такие наборы мы назовём особыми. Пример особого набора: {7,8,13,14,15,16,55,56,91,92}. Из интуитивных соображений должно быть ясно, что таких "симметричных" в определённом смысле наборов относительно мало. Но именно в них заключена вся "соль", о чём чуть ниже.

Итак, мы теперь выделяем вторую категорию, куда входят все остальные наборы. Такие наборы мы будем назвать обыкновенными. Если написать несколько чисел наугад, то мы почти наверняка выпишем обыкновенный набор. Например: 3,4,8,9,13,15,23. Обратим внимание на то, что из чисел пары {1,2} у нас здесь ничего не встретилось; пара {3,4} присутствует целиком; {5,6} отсутствует совсем, а вот среди чисел пары {7,8} у нас одно число есть, а другого нет. И мы сопоставим такому обыкновенному набору другой набор, а именно 3,4,7,9,13,15,23 -- тоже обыкновенный. Здесь мы 8 заменили на 7, и больше никаких изменений не вносили. Ясно, что при этом чётность суммы всех чисел набора сменилась. И в итоге все обыкновенные наборы можно разбить на пары соответствующих друг другу наборов, в одном из которых сумма чётна, а в другом -- нечётна. Это показывает, что количество обыкновенных наборов с чётной суммой в точности такое же, как и количество обыкновенных наборов с нечётной суммой.

Для ясности повторим ещё раз в общем виде, как устроено наше правило соответствия. Если набор является обыкновенным, то имеется пара из списка, у которой одно из чисел входит в набор, а другое не входит. Мы выбираем самую первую их таких пар (в примере выше это была пара {7,8}), и меняем в наборе одно из чисел этой пары на другое, получая "симметричный" набор. Ясно, что суммы чисел при этом меняют свою чётность.

Таким образом, остаётся разобраться только с особыми наборами. Здесь сразу же ясно, что если мы берём набор из нечётного количества карточек (скажем, из 19), то особых наборов просто нет в принципе, так как последние состоят из пар, и общее количество карточек при этом чётное. И в этом случае будет иметь место полное равенство двух вероятностей. А что будет, если мы извлекаем 18 карточек, получая при этом особый набор? Ясно, что мы целиком берём 18/2=9 каких-то пар из 50 имеющихся, но в каждой паре сумма чисел неизбежно нечётна. А раз и пар нечётное количество, то сумма чисел любого особого набора в данном случае оказывается нечётной, что и даёт "перевес" (пусть и небольшой) в сторону нечётности.

Аналогично, если мы берём 20 карточек, то в особом наборе будет присутствовать 20/2=10 пар, то есть чётное число. А сумма десяти нечётных чисел, очевидно, чётна. Поэтому при 20 карточках "побеждают" чётные суммы.

Общее правило, исходя из сказанного, нетрудно сформулировать. Из него также легко вывести ответы для случая, когда исходное количество карточек нечётно (например, равно 101).
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 61 comments