Falcão (falcao) wrote,
Falcão
falcao

  • Mood:
  • Music:

О детерминизме, случайности и вероятности

Идея написать этот текст возникла у меня в результате дискуссий по поводу вещей, связанных с детерминизмом и вероятностными подходами. Многое из того, что я здесь напишу, давно и хорошо известно. Однако мне представляется небесполезным остановиться ещё раз на этих вопросах, так как частенько приходится сталкиваться с путаницей, которая имеет место по этому поводу в сознании многих людей. Основной текст (весьма длинный) я убираю под кат. Там будут встречаться несложные математические примеры. Те, кто не питает интереса к математике и близлежащим вопросам, могут либо не читать вообще, либо читать, пропуская не до конца понятное. Я всегда стараюсь писать максимально понятным языком, избегая наукообразной терминологии. Также я не переношу туманных и пространных рассуждений о непонятном.

"Всё, что может быть сказано, должно быть сказано ясно, а о чём нельзя говорить, о том следует молчать" (Л. Витгенштейн)

Часто приходится слышать о том, что "по последним данным науки" якобы "доказано", что мир имеет вероятностную природу. Что детерминизм, дескать, канул в Лету. При этом приводятся разные примеры из квантовой механики, упоминается "принцип неопределённости" и прочие сопутствующие вещи. У меня создаётся впечатление, что многим такая картина очень по душе. Больно уж не хочется жить в прозрачном и предсказуемом мире. Часто упоминают при этом и древнеиндийскую философию, которая для агностиков просто как бальзам для души. Мне хотелось бы изложить своё видение ситуации.

Во-первых, концепция детерминизма не только не устарела, но она вообще лежит в основе современной аксиоматики такого раздела науки как теория вероятностей. Я об этом скажу подробнее чуть ниже, а пока хотел бы привести несколько примеров, опровергающих популярные доводы о том, что детерминизм отменяет свободу воли и свидетельствует о тщете человеческих усилий. Зачем-де рыпаться, если "всё предопределено"?

Представим себе игру в "подкидного". Всем известно, что человек, запоминающий карты, вышедшие из игры, может иметь решающее преимущество на заключительном этапе. Хотя те карты, которые останутся на руках у игроков перед самым завершением игры, уже "записаны на небесах", ясно, что человек, просто полагающийся на "судьбу", рискует "оказаться в дураках". Допустим, я делаю решающий ход. У меня есть выбор, и правильность хода зависит от того, вышел ли из игры валет пик. Это событие не только предопределено, оно даже ПРОИЗОШЛО. И от того, прилагали мы усилия или нет, запоминая вышедшие из игры карты, зависит успех всей кампании. Мы не можем повлиять на то, вышел ли из игры валет пик. Но мы можем изначально иметь либо правильную установку (запоминать карты), либо играть "на авось". Ясно, что в первом случае мы в решающий момент можем воспользоваться преимуществами выбранной стратегии.

Подобного рода примеров можно привести много. Пока что я хочу напомнить то, что вопрос о детерминизме связывают с такими категориями как причинность и случайность. Для начала надо сказать несколько слов о причинности. У Пуанкаре есть хороший пример на эту тему. Из уравнений механики следует, что если мы знаем положения и скорости небесных тел в данный момент, то мы можем предсказать их положения (и скорости) в будущем. Поэтому можно считать причиной будущей конфигурации тел то, что в прошлом имела место некая наблюдаемая нами картина. Но этот же процесс можно развернуть в прошлое и с равным успехом заявить, что причиной того расположения тел, которое мы наблюдаем, является их будущее расположение там-то и там-то. Вот тот же пример в упрощённом виде. Допустим, я выписал подряд все натуральные числа от 1 до 100. Мы видим, что на каком-то месте стоит число 13. Почему? Нам говорят: потому, что на предыдущем месте было число 12. Это причина появления "чёртовой дюжины". Но можно сослаться на то обстоятельство, что на следующем месте расположено число 14, объявив это "причиной". (Я намеренно упростил пример, чтобы отмести возможные возражения со ссылками на релятивистские поправки, "неравновесность", "необратимость времени", теорию катастроф, "бифуркации", фракталы и Илью Пригожина. Мои интересы и намерения относятся к несколько другой сфере.) Этим примером я хотел сказать, что классическое понятие причинности и связанный с ним ход мысли далеко не во всех ситуациях уместны, и не следует на них полагаться как на нечто фундаментальное.

О категории случайного надо сказать особо. Если повсюду царит детерминизм, то где место случайным явлениям, которые мы наблюдаем ежедневно и повсеместно? Лично я не вижу здесь никакого противоречия. Вот для начала ещё один простой пример, который я уже приводил в одной из дискуссий. Представим себе, что я написал на бумажке числа от 1 до 10 в некотором порядке. Я готов их назвать вам в том виде, как они записаны. Вы сидите и думаете, какое же будет первое число? Оно может оказаться совершенно любым, т.е. для вас оно "случайно". Я это число знаю -- для меня оно не случайно. Вы не знаете самого числа, но знаете, что я назову уже написанное -- результат в любом случае предопределён. Как видно отсюда, детерминизм и случайность мирно соседствуют друг с другом.

И всё же, какие явления мы принимаем за "случайные", если верим в предопределённость? На этот вопрос есть вполне ясный и чёткий ответ, предложенный в своё время уже упоминавшимся Анри Пуанкаре. Позже эти идеи были развиты А. Н. Колмогоровым и легли в основу представления о "сложности по Колмогорову". Итак, детерминизм предполагает, что все события подчинены жёсткому закону. Закон этот может быть очень прост (как в примере с выписанными подряд числами). Но он может быть настолько сложен, что никакими средствами выразить его мы не можем. Это не мешает нам верить, что такой закон в принципе существует, равно как никто не мешает нам верить в Верховное Существо несмотря на то, что "космонавты летали и не видели". Если мы не знаем закона, то явление предстаёт перед нами как "случайное". Сейчас я приведу канонический пример разницы между закономерным и случайным.

Мы можем говорить о том, что то или иное число "случайно" (это же относится к любым текстам) . Всем ясно, что число 11111111111111111111111111111111111111111111111111 не случайно, а число 1101110011101111010000001101011100000111101111111101 выглядит как "случайное" (попытайтесь обнаружить здесь "закономерность"; на самом деле она есть, хотя разгадать её не так легко). Разницу между этими двумя числами объяснить очень просто. В первом случае можно дать очень короткое описание, позволяющее любому восстановить само число. Удобно представить себе очень длинный текст из миллиона единиц подряд; для описания такого текста достаточно лишь нескольких слов. То есть имеется описание текста, которое намного короче нежели он сам. Это говорит о том, что текст не "случаен". Второе же число, с хаотичным порядком нулей и единиц, описать кратко весьма затруднительно; фактически, нам не остаётся ничего другого, как просто полностью его выписать. Таким образом, существует тесная связь между случайным и очень сложным; по сути дела, это одно и то же. Феномен "случайности" -- это просто феномен "очень сложного".

Осталось раскрыть вопрос об аксиоматике теории вероятностей и её связи с концепцией детерминизма. В своём знаменитом докладе, сделанном в 1900 году, Давид Гильберт поставил несколько десятков крупных проблем, в русле которых развивалась математика следующего столетия. Большая их часть в настоящее время решена; кое-что остаётся открытым и по сей день. Одна из проблем касалась аксиоматизации двух разделов физики -- классической механики и теории вероятностей (последняя, как это ни удивительно, считалась тогда разделом физики, причём даже менее "математизированным" по сравнению с механикой). Надо здесь заметить, что строгого математического определения вероятности долгое время не существовало, и за основу бралось статистическое толкование, предложенное Р. Мизесом. А именно, если мы хотим узнать вероятность события с возможно большей точностью, то мы должны повторить один и тот же опыт много раз и выяснить, сколь часто наблюдается интересующее нас событие. Если оно происходит, скажем, в тридцати случаях из 1000, то вероятность приблизительно равна 3%. Если мы хотим знать более точное значение, то надо повторить опыт не 1000, а миллион или миллиард раз. Такой подход, кстати, актуален и по сей день, так как на практике мы считаем вероятностью события относительную частоту его наступления. Аксиоматический подход не отменяет эмпирического, а лишь дополняет его. Важно здесь ещё упомянуть о том, что нередко приходится слышать об оценке вероятности того или иного уникального события. Как правило, в таких случаях речь идёт о заведомых спекуляциях, так как иной раз невозможно даже представить себе мысленный эксперимент, повторяющий событие. Тем не менее, порой доводится сталкиваться с псевдонаучными рассуждениями на тему того, какова "вероятность всемирного потопа" или "вероятность падения на землю тунгусского метеорита" :)

Есть тут и ещё одна проблема, связанная с неоднозначностью осуществления случайного выбора одного из имеющихся объектов. Скажем, если мы выбираем наудачу один предмет из 10, то проблемы не возникает. Если же предстоит выбрать один предмет из бесконечной совокупности, то многое может зависеть от того, по каким правилам осуществляется такой выбор. Представьте себе фразу "случайно выбранное натуральное число". Если оно выбирается из всей бесконечной совокупности чисел, то трудно предложить какую-либо разумный способ такого "выбора". Хорошо известен и так называемый парадокс Бертрана. Дана окружность; нам предстоит наудачу выбрать какую-либо хорду этой окружности. Вопрос состоит в том, насколько длинной окажется (в среднем) такая хорда. Скажем, можно попытаться узнать вероятность того, что эта хорда будет длиннее стороны вписанного в окружность равностороннего треугольника. Разные способы подсчёта такой вероятности дают совершенно разные ответы. Можно получить и 1/2, и 1/3, и 1/4. Причина в том, что процесс "случайного выбора" может быть совершенно разным. Детали я здесь излагать не буду, так как этот парадокс широко известен и многократно описан в литературе.

Построение подходящей аксиоматики теории вероятностей было с успехом осуществлено А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века. В результате получилась очень эффектная, просто формулирующаяся и хорошо работающая аксиоматика. Нетрудно было бы привести все аксиомы целиком, так как их немного. Но я этого делать не буду, так как детали можно прочитать в учебниках. Мне хотелось бы обратить внимание лишь на то, как работает идея детерминизма при построении такой аксиоматики.

Примем такое предположение, что любое, даже самое что ни на есть "случайное" событие однозначно определяется какой-то совокупностью факторов. Сами факторы могут быть нам не известны; мы не будем предпринимать даже мысленной попытки как-то их учитывать. Мы допускаем, что на выпадение "орла" или "решки" могло повлиять что угодно: вспышка на Солнце, сломанная ветка бузины, чихание "дядьки" из Киева. Важно то, что мы можем себе представить воображаемую совокупность так называемых элементарных событий, наступление каждого из которых определяет однозначно всё мыслимое и немыслимое. Наступление одного элементарного события есть не что иное, как наличие или отсутствие каждого из признаков, который в принципе на данное событие мог повлиять. Мы можем тем самым говорить о пространстве элементарных событий, которое является одним из "действующих лиц" обсуждаемой аксиоматики. Очень важно подчеркнуть, что это "пространство" не наделено вообще никакой структурой. С математической точки зрения, это есть просто множество каких-то объектов неясной природы. В любой конкретной ситуации осуществляется ровно одно из элементарных событий, и значения всех так называемых случайных величин однозначно зависят от наступившего элементарного события.

Что же такое при этом вероятность? Прежде всего надо подчеркнуть, что мы всегда говорим о вероятности того или иного события. Событие -- это некоторое множество элементарных событий. Последняя фраза должна быть понятна любому математику, но для тех, кто впервые сталкивается с описываемым подходом, желательно сделать пояснение. Прежде всего, давайте считать, что пространство элементарных событий состоит просто из всех мыслимых и немыслимых ситуаций, которые могут возникать. В некоторых из этих ситуаций происходит определённое событие, например, выпадение "орла". Поэтому событие мы формально можем понимать как множество всех ситуаций, в которых событие собственно происходит.

Если A -- некоторое событие, то через P(A) принято обозначать его вероятность, т.е. число, должное в идеале показывать, с какой частотой данное событие происходит. Следует заметить, что далеко не каждое событие имеет вероятность. Можно представить себе нечто настолько причудливое, о вероятности чего говорить не имеет смысла. Поэтому следует выделить ещё один объект аксиоматики -- класс событий, о вероятности которых имеет смысл говорить. Все более или менее представляющие интерес события в этот класс заведомо входят. (Я намеренно избегаю произнесения научного термина для обсуждаемого класса событий, дабы не отпугивать читателей.) Наконец, третье действующее лицо -- это сама Госпожа Вероятность, которую мы обозначили буквой P. Это есть то правило, которое каждому "осмысленному" событию сопоставляет численное значение -- вероятность самого события.

Итак, тройка объектов -- 1) пространство элементарных событий, 2) класс "осмысленных" событий, 3) вероятность P -- образует тот основной объект, который называется в науке вероятностным пространством. Для завершения конструкции надо лишь указать, каким естественным правилам должна удовлетворять вероятность. Это очень короткий список; я ограничусь лишь тем, что укажу три из таких правил (аксиом теории вероятностей). Они всем хорошо известны. Вероятность любого события -- это неотрицательное число. Если даны события A и B, которые не могут наступить одновременно, то вероятность их "суммы" (т.е. наступления одного из этих событий) равна сумме вероятностей этих событий. В виде формулы мы можем записать это правило как P(A+B)=P(A)+P(B). Далее, вероятность достоверного события (т.е. того, которое всегда наступает) равна единице. Есть ещё четвёртая аксиома, но она чуть сложнее формулируется, и я её опускаю.

Вот на каком простом материале базируется столь сложная наука как теория вероятностей. На меня простота этой аксиоматики до сих пор производит совершенно чарующее впечатление. Особенно восхищает такой приём как рассмотрение совершенно "виртуального" объекта -- пространства элементарных событий. Можно сказать, что оно совершенно невидимо, но "управляет" всеми "случайными" величинами. Конечно, мы не можем, не имея контакта с "элементарными событиями", предсказать значение тех или иных случайных величин. Но зато нам ничто не мешает мыслить такое пространство, и это очень сильно помогает.

"Если бы вероятностного пространства не было, то его следовало бы придумать".

Его и придумали :)
Tags: околонаучное
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 151 comments