Falcão (falcao) wrote,
Falcão
falcao

о ревизии оснований теории множеств

Пост на эту тему я намечал очень давно, но всё оттягивал и оттягивал, потому что считал необходимым сначала упорядочить в своей голове ряд не до конца оформленных мыслей. Но в итоге я решил написать как есть. Мне кажется, изложенного здесь будет вполне достаточно, чтобы начать разговор. Те или иные вещи, которых я не коснулся, всплывут по ходу дела. Поэтому я, не претендуя на обладание какой-либо законченной концепцией, приглашаю к разговору всех, кого интересует заявленная тематика.

Для тех, кто не интересуется проблемами оснований математики, написанное вряд ли представит какой-либо интерес -- предполагается обсуждение довольно узкоспециальных вопросов. То есть заглядывать под кат не имеет никакого смысла. Всем остальным я говорю: bem-vindos! Пост идёт пока что как подзамочный; в дальнейшем он может быть открыт. Для обсуждения я открываю отдельную (подзамочную) ветку.

Кое-что из написанного здесь уже всплывало в старых дискуссиях с sowa. Прежде всего, мысль о том, что теорию множеств не следует отождествлять с каким-либо существующим формализмом наподобие ZF или NGB. Одним из принципов обсуждения я считаю следование идеям "наивной" теории множеств. Что касается формализмов, то их тоже можно обсуждать, но как раз скорее в плане "подгонки" под определённые идеи, которые следует по возможности выявить.

Первый вопрос, который я хочу поставить, таков. Из каких элементов могут состоять множества? Вопрос далеко не праздный. Во-первых, совершенно ясно, что никакая из законченных концепций не позволяет рассматривать все множества, которые в том или ином смысле возможны. (Обоснование этого положения довольно тривиально; этот вопрос довольно подробно разобран у Вопенки в послесловии к книге "Математика в альтернативной теории множеств".) Во-вторых, математика так или иначе отказывается от рассмотрения множеств, элементами которых являются объекты "физической реальности" (для изучения последних всегда можно использовать "нумерацию" или какое-либо "кодирование"). То есть вещей типа "множество лошадей -- табун" заведомо следует избегать. В-третьих, и это самое важное, -- ещё Кантор, излагая концепцию множества, выдвигал на первый план мысль о том, что элементами множеств должны быть не какие попало элементы, а такие, которые неким образом "понятны", "отделимы" друг от друга, хорошо различимы сознанием. Последнее обстоятельство часто упускают из виду. Кстати, именно пренебрежение этим важным принципом, по моему мнению, как раз и привело к парадоксам. Но об этом чуть ниже.

Помимо всего прочего, обычно в теории множеств принимается аксиома регулярности, запрещающая рассматривать многие вполне понятные объекты. Например, я могу сказать, что хорошо понимаю, как устроено "множество" X, задаваемое бесконечной серией вложенных фигурных скобок, то есть X = {{{ ... }}}. Это "множество" удовлетворяет равенству X = {X}; нет никакого сомнения в том, что оно понятно устроено -- ничуть не менее понятно, чем множество натуральных чисел. Оправданием нерассмотрения такого объекта служит то обстоятельство, что аксиома регулярности упрощает "мир множеств", и в то же время оставляет его достаточно широким для того, чтобы при помощи теоретико-множественных средств моделировать все известные классические математические объекты (а также доказывать относительно них все нужные факты). Здесь следовало бы явно отметить две возможные цели, которые можно перед собой ставить. Одна цель -- это создание единой "оболочки" для реальной математической практики. Здесь любое разумное сужение средств можно только приветствовать. Но возможна и другая цель -- изучение множеств "самих по себе". При этом класс изучаемых объектов должен быть как можно шире, а ограничения на применяемые средства должны накладываться лишь в случае крайней необходимости. Также я хочу высказать здесь вполне очевидную для меня мысль о том, что теоретико-множественных концепций (и описываемых ими "миров") должно быть, скорее всего, много. Вряд ли возможна какая-то одна "каноническая" теория. Не уверен, что со мной все согласятся, но я придерживаюсь этой идеи довольно твёрдо.

Итак, попытаемся ответить на первый поставленный вопрос. Здесь не будет никакого сюрприза. А именно: элементами множеств должны быть множества, а не какие-либо другие объекты. Я не считаю этот подход единственно возможным, хотя он довольно общепринят. В принципе, элементами множеств вполне могли бы быть какие-то процедуры, свойства или что-то ещё, при условии, что соблюдается "принцип Кантора" о "ясности" содержимого множеств. Вопрос о том, следует ли все упомянутые выше объекты считать именно множествами, на самом деле не вполне ясен, и это может быть одной из обсуждаемых тем. Скажем, упорядоченную пару двух объектов -- вполне естественную конструкцию -- принято рассматривать как множество особого вида, прибегая при этом к приёму, предложенному Куратовским. То же касается функций, которые при "наивном" подходе являются "правилами", то есть чем-то самостоятельным. А при формальной реализации они ("правила") элиминируются, и функции фактически отождествляются со своими графиками. Можно привести ещё несколько аналогичных примеров. Скажем, абстрактные "свойства" при формализации становятся фактически формулами языка рассматриваемой теории. Если же их понимать "общелогически", не формализуя, то смысл получается гораздо шире.

Тем не менее, в рамках основного подхода мы всё-таки пока обойдёмся одними лишь множествами. Если считать, что представление о том, что такое множество (в рамках фиксированной концепции) уже имеется, то налицо универсум всех рассматриваемых множеств, который мы будем обозначать буквой V. Следует заметить, что этот универсум мы вообще-то только хотим "задать", перечисляя принципы, постулаты или аксиомы. Заранее при этом может не быть известно, каким он получится. Это порождает некоторые проблемы, в частности, проблему так называемых "непредикативных определений", на которую обращал внимание ещё Пуанкаре. Об этом мы также поговорим чуть ниже.

Пока что представим себе, что универсум V как-то задан. Стандартные соображения показывают, что V не должен принадлежать себе в качестве элемента, то есть он не является множеством. Тем не менее, V состоит из множеств, само множеством не являясь. Такие совокупности естественно называть классами, как это делается в теории NGB. Классы, как и множества, состоят из элементов, которые в свою очередь являются множествами. При этом множество -- это частный случай класса; фактически по определению получается, что множеством разрешается называть такой класс, которому позволено быть элементом других множеств или классов. Всё это более или менее стандартно.

Теперь мы зададим второй вопрос. Какие совокупности множеств разрешено образовывать? То есть имеются ли ограничения на классы, которые мы рассматриваем? Выше мы видели, что на множества ограничения нами наложены -- это должны быть "ясные" объекты (что подлежит уточнению далее), а как быть с классами? Дозволено ли им быть "любыми"? Я склонен ответить на этот вопрос положительно, так как не вижу никаких препятствий здесь что-либо запрещать. То есть постулируется следующий принцип, который я буду называть "принципом свёртывания": для любого свойства P (понимаемого "наивно", то есть предельно широко) существует класс, состоящий из тех и только тех множеств, которые обладают свойством P.

В теориях типа ZF, где классы не берутся в качестве значений предметных переменных, инуитивно приемлемый "принцип свёртывания" превращался в схему аксиом свёртывания, что приводило к противоречию в виде парадокса Рассела. На мой взгляд, сам принцип отвергать совершенно не следует, просто совокупность A всех множеств, не принадлежащих себе в качестве элемента, заведомо существует, но она будет собственным классом (то есть классом, который не является множеством). Поэтому A не принадлежит A, и никакого противоречия не возникает.

Обсудим вопрос о том, какие изменения в аксиоматике могут появиться, если "принцип Кантора" о "ясности" строения множеств применять последовательно. Прежде всего рассмотрим аксиому выбора. В дискуссиях sowa не раз говорил о том, что эта аксиома в некотором роде "очевидна". Я тоже так считаю, но мне при этом кажется, что надо подойти к вопросу аккуратно и понять, что же здесь на самом деле интуитивно очевидно. В качестве примера возьмём конструкцию неизмеримого множества Витали на единичном отрезке. Мы разбиваем отрезок на классы эквивалентности; два числа полагаются эквивалентными в том и только в том случае, когда их разность рациональна. Далее осуществляется выбор одного элемента из каждого класса. Поскольку каждый из классов непуст, это сделать можно. Все выбранные элементы образуют некоторую совокупность B, существование которой не вызывает ни малейших сомнений. В этом смысле аксиома выбора более чем "очевидна". Менее очевидно другое: почему эта совокупность B будет множеством?

Если исходить из "принципа Кантора" (который мы везде понимаем интуитивно), то окажется, что B отнюдь не есть ясный и понятный объект. Поэтому с какой стати мы должны считать его множеством? Мы знаем, что он состоит из чисел, то есть понятных объектов, но какие именно числа в него входят -- на этот вопрос ответа мы не знаем. Кто-то другой может осуществить свой выбор элемента в каждом классе эквивалентности, придя к некоторой совокупности C, о которой тоже мало что известно. Как сравнивать между собой B и C? Это непонятно.

Поэтому я считаю, что в аксиоме выбора должно утверждаться лишь существование соответствующего класса, состоящего из выбираемых элементов. В отдельных случаях он будет множеством, но это надо специально обосновывать. Коль скоро аксиома выбора принимается в таком вот "урезанном" виде, ревизии подвергаются эквивалентные ей утверждения -- теорема Цермело о том, что любое множество может быть вполне упорядочено и "принцип дихотомии" о том, что любые два множества сравнимы по мощности. Я честно признаюсь, что не прибегал к детальному анализу, хотя считаю, что в данном случае он осуществим. Поскольку здесь теперь налицо как множества, так и классы, то возникает сразу несколько вариантов и разветвлений. Можно ли подвергать полному упорядочению классы? Сравнивать их по мощности? Что будет считаться биекцией между множествами (классами)? Должно ли соответствующее множество упорядоченных пар быть множеством, или же мы можем позволить ему быть собственным классом?

О других аксиомах. В формальной теории ZF вместо схемы аксиом свёртывания принимается схема аксиом выделения. А именно, из любого множества можно теоретико-множественным свойством выделить подмножество всех элементов, обладающих этим свойством. В нашем случае принят "принцип свёртывания", где разрешается образовывать классы, выбирая элементы из всего универсума V. Аксиома выделения в том виде, как она принимается в ZF, приводит к множествам. Уместно задать вопрос: в нашем случае, если мы следуем "принципу Кантора", всегда ли выделенный подкласс будет множеством? Или можно ещё сказать так. У нас есть множество x и некоторый класс A. Можно ли утверждать, что их пересечение будет множеством?

Честно говоря, я совершенно не вижу оснований для такого вывода. Традиционный подход состоял в том, что собственные классы отвергались по причине того, что это "очень большие" совокупности. Пересечение x и A в предыдущем абзаце не является "очень большим", но ввиду "неясности" класса A пересечение также оказывается не вполне "ясным".

Остановимся на этой ситуации чуть подробнее. Пусть класс A задан некой формулой F(t). Если свойство F(t) имеет какой-то простой вид вроде t=t, t \in t или t \notin t, то для меня нет сомнений в его "ясности", и в этом случае выделяемый из x класс будет множеством. То есть схему аксиом выделения следует принимать в случае, если F(t) имеет "хороший" вид. Но представим себе теперь, что F(t) содержит кванторную приставку по каким-то переменным. Что в таком случае являет собой свойство -- совершенно не ясно. Универсум V пока что ещё находится в процессе построения. Уже на примере арифметических формул видно, что расширение или сужение предметной области существенно может влиять на истинность формулы. Скажем, одна и та же формула может быть истинной на N, ложной на Z и вновь становиться истинной на R. То же самое может происходить и с нашим свойством F(t) в зависимости от принятия или непринятия новых аксиом. (Это и есть случай тех самых "непредикативных определений", о которых писал Пуанкаре.)

Поэтому встаёт вопрос о том, что же такое "ясные" объекты (которым будет дозволено именоваться "множествами") и "ясные" свойства (задаваемые формулами). По поводу первых можно сказать следующее. Пустое множество -- это "ясный" объект, потому что его смысл никак не меняется от принятия новых аксиом, косвенно задающих универсум V. То же самое верно относительно множества натуральных чисел {0,1,2,...} -- оно никак не изменится после добавления каких-то аксиом, сужающих или расширяющих универсум. В то же самое время, сам универсум V будет заведомо "неясен", так как он ещё не построен. При этом возникает что-то вроде критерия "ясности" объектов: объект "ясен", если он не меняется при возможных модификациях универсума. В нашем случае видно, что нет нужды в принятии аксиомы бесконечности. Класс {0,1,2,...} легко выделяется формулой, и потому существует, ввиду принципа свёртывания. То, что его следует считать множеством, вытекает из его "ясности".

Говоря о "ясных" свойствах, я не могу предложить соответствующего критерия, так как в общем случае структура классов, определяемых формулами, совершенно непонятна. Здесь, вероятнее всего, следует ограничиться каким-то достаточным условием. У нас уже есть примеры "ясных" свойств (все бескванторные формулы); следует подумать над тем, какие ещё свойства будут интуитивно понятными. Пока я не располагаю ответом на этот вопрос.

Теперь следует проанализировать ситуацию с "аксиомой степени", то есть аксиомой множества всех подмножеств. Если дано множество x, то P(x) -- "множество всех подмножеств" -- заведомо существует в виде класса, опять-таки в силу принципа свёртывания. Всегда ли можно считать этот класс множеством? "Ясен" ли он, "инвариантен" ли относительно дальнейших действий с универсумом? Этот вопрос актуален даже в простом случае, когда x есть множество натуральных чисел. То есть континнум заведомо существует в виде класса, но есть ли основания считать его множеством (и тем самым говорить, например, о его мощности)? Мне кажется, положительный ответ здесь совершенно ниоткуда сразу не следует. А если следует, то нужно привести обоснование (я допускаю, что оно может существовать при условии принятия каких-то не слишком противоречащих интуиции допущений). Пока что совсем не прослеживается, какие именно подклассы в {0,1,2,...} в дальнейшем будут включены в универсум V.

В одной из дискуссий sowa говорил о том, что, по его мнению, континнум является вполне ясно описываемым объектом (в рамках "наивной" теории), и потому о таких вопросах как континуум-гипотеза можно говорить в "абсолютном" смысле (подобно тому, как мы говорим о свойствах натурального ряда). То есть, несмотря на результаты о независимости континуум-гипотезы, относящиеся к свойствам формальных систем, можно говорить об истинности или ложности этого утверждения. Формализмы не вполне адекватно отражают нашу интуицию, поэтому на них не следует полагаться. Мне это соображение представляется разумным, но я пока что не вижу прямой возможности говорить даже о мощности самого континуума без дополнительных предположений. Более того, я даже допускаю, что существуют разумные подходы к теории множеств, в рамках которых все множества окажутся счётными.

Особого внимания заслуживает анализ реальных математических доказательств. Ограничения, нами вводимые, не должны влиять на статус "выверенных" результатов из области, скажем, анализа. Если те же самые доказательства будут иметь силу при замене каких-то множеств классами, то это будет говорить в пользу предлагаемого мной подхода.

Повторюсь, что я здесь только наметил контуры некого подхода, а что из этого получится (и получится ли что-то) -- этого я не знаю. В любом случае, какого-то обсуждения эти мысли, вероятно, заслуживают.

К ОБСУЖДЕНИЮ
Subscribe
Comments for this post were disabled by the author