Falcão (falcao) wrote,
Falcão
falcao

анализ ошибочных рассуждений

Я давно планировал написать пост на "логико-рассуждательную" тему. Сейчас я осуществил своё намерение. Получилось весьма длинное "эссе", которое до конца, я боюсь, одолеть смогут немногие :) Тем не менее, я сейчас размещаю его в открытом виде, но комменты -- отключаю. А вслед за ним будет подзамочное обсуждение для френдов.

Людям довольно часто приходится в жизни рассуждать и делать выводы. Ситуации при этом могут быть какие угодно -- от решения математических задач до выбора "спутника жизни" :) Вряд ли нужно особо оговаривать то обстоятельство, что умение "правильно" рассуждать (а не "абы как"), является ценным.

Но что значит "правильно" в данном случае? Есть ли это всего лишь умение приходить к верным, то есть соответствующим действительности выводам? Вообще говоря, нет, потому как все знают, что правильный "ответ" может быть получен в результате совершенно ошибочных рассуждений. А может быть и вообще "угадан".

Я предлагаю исходить далее из такого толкования: если в рассуждении есть ошибка, на которую можно указать, то такое рассуждение не будет считаться "правильным" -- независимо от того, верен ли итоговый "ответ" или "вывод".

Мне не раз доводилось наблюдать одно явление, которое неизменно вызывает у меня удивление. Особенно отчётливо это было заметно на примере обсуждений задач логического характера. Есть некое рассуждение, и обнаруживается, что вывод, которым оно оканчивается, неверен. Я ставлю вопрос: где допущена ошибка в рассуждении? Что можно чаще всего услышать в ответ? Как правило, дополнительное обсуждение того, что итоговое утверждение неверно; часто -- с предъявлением другого рассуждения, которое приводит к иному выводу.

Вдумаемся в то, что происходит. У людей настолько крепко сидит в голове убеждение, что роль рассуждений -- это давать нам "верные" и "полезные" выводы, что "несработавшее" рассуждение просто отбрасывается как не загоревшаяся спичка. Попытались "чиркнуть"; спичка сломалась или быстро потухла. Взяли тогда другую и успешно зажгли. Цель вроде бы достигнута. Но можно ли так же относиться к рассуждениям? Типа, не сработало одно -- взяли другое?


Представим себе на минуточку, что речь идёт не о спичках, а об оружии. Ружьё не выстрелило. Можно, конечно, взять другое -- если оно есть. Но представьте себе, что вы -- "оружейник", то есть хорошо разбираетесь в устройстве "стволов". Тогда вас может заинтересовать вопрос, а почему оно не выстрелило? Или там что-то внутри "заклинило", или туда не вставили патрон -- много причин может быть! И вообще-то имеет смысл разобраться, так как "ружья должны стрелять"!

Возможен, кстати говоря, ещё такой случай, когда выстрел имел место, но он не попал в цель. И здесь тоже есть повод задуматься, но уже не над качеством оружия, а над умением стрелять. Понятно, что "в идеале" нам хотелось бы, чтобы каждый производимый выстрел был успешным.

Я здесь рассматриваю довольно напрашивающуюся аналогию: наш мыслительный "аппарат", при помощи которого мы рассуждаем -- это нечто сродни "оружию", причём оно в какой-то степени "именное" :) Как математик, я знаю цену тому, насколько важно всё время держать этот "аппарат" в порядке, "чистить" его время от времени, иметь под рукой запас "патронов", ну и так далее. И, разумеется, важно уметь метко "стрелять"! Поэтому всякий раз, когда я сталкиваюсь с рассуждением, которое привело к неверному выводу, я считаю нужным обязательно разобраться с тем, где же была допущена ошибка.

Я решил проиллюстрировать эту ситуацию на примере широкого известной задачи, о которой слышали наверняка практически все. Это задача об игре, где есть три двери, и где разыгрывается автомобиль. Она столь широко обсуждалась -- и в популярной печати, и в ЖЖ, что я прибегаю к этой теме не без некоторой опаски, потому как в ответ можно получить целый комплект "боянов" :)

Тем не менее, решение я уже давно принял, и потому оглашаю, что обсуждаться будет известнейший парадокс Монти Холла. Точнее, не он сам, а всего лишь одно из часто встречающихся ошибочных рассуждений, к которому то и дело прибегают. Причина, которая побудила меня так поступить, заключается ещё и в том, что в ответ на это неверное рассуждение, в подавляющем большинстве случаев излагают другое -- верное. И человек, ранее предлагавший ответ 1/2, убеждается, что правильным является ответ 2/3. Если человек воспринял новое рассуждение как убедительное, то ему этого более чем достаточно. Но при этом совершенно забывается, что старое рассуждение выглядело весьма правдоподобно. И поэтому есть смысл разобраться, где и в чём оно подвело.

Хотя я привёл ссылку, где всё более или менее подробно разобрано, я из соображений удобства всё-таки кратко повторю условие, а затем приведу для анализа ошибочное рассуждение, которое с виду выглядит вполне приемлемым. Моя задача будет лишь в выяснении того, в чём именно заключалась ошибка. То есть, если снова перейти на язык метафор -- почему "выстрел" не поразил "цель".

Итак, есть три закрытые двери, за одной из которых имеется автомобиль, а за двумя другими -- ничего (думаю, обойдёмся без коз :)) Вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей полагается одинаковой. Играющий выбирает одну дверь; будем считать, что она имеет номер один. Затем ведущий, который знает, где расположен автомобиль, открывает вторую или третью дверь и показывает, что там пусто. Важно, что если автомобиль находится за первой дверью, то вероятности открыть вторую или третью дверь считаются равными, и играющему это известно. Далее ведущий предлагает играющему сменить выбор двери. И вопрос состоит в том, выгодно ли менять выбор. Можно просто ставить вопрос так: какова вероятность, что автомобиль находится за первой дверью, и какова вероятность, что он находится за другой из закрытых дверей?

Так вот, для начала я приведу "правильное" рассуждение (одно из большого количества возможных), и только вслед за ним -- то, в котором надо будет найти ошибку. Я считаю, что разбирать в таком порядке будет лучше. Итак, начать удобно с того, чтобы рассуждать не в терминах такого "абстрактного" понятия как "вероятность", а с чего-то более наглядного, где труднее ошибиться.

Предположим, что было всего 300 розыгрышей, из которых ровно в 100 случаях автомобиль располагали за первой дверью, ровно в 100 -- за второй, и ровно в 100 за третьей. Тогда понятно, что тот, кто всё время ставил на первую дверь, выиграет в 100 случаях из 300, и его шансы составят 1/3. Тот же, кто менял выбор, в точности в этих случаях проиграет, а в остальных 200 случаях -- выиграет. Например, если автомобиль находится за второй дверью, то ведущий откроет третью, и смена выбора двери с первой на вторую приведёт к выигрышу автомобиля. Аналогично -- в случае, если автомобиль находится за третьей дверью. То есть при смене выбора шансы составляют 2/3.

А вот теперь -- внимание -- вот ошибочное рассуждение, которое я процитирую из Вики-статьи по ссылке. Замечу, что там оно не подвергается анализу, то есть суть совершаемой ошибки не раскрывается: говорится лишь, что этот ход рассуждений неверен, а далее излагается верное решение. Я же считаю нужным не только отследить "баги", но и "пофиксить" их :)

после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ.

На первый взгляд всё выглядит вполне здраво, но я бы начал с того, что прояснил бы термин "информация", который считаю довольно "скользким". Вот, скажем, расследует детектив некое преступление, и известно, что совершить его мог кто-то один из троих: Джек, Джим или Джон. В процессе своего расследования сыщик может узнавать что-то новое, и это ему может давать или не давать информацию о преступнике. Скажем, если настенные часы пробьют пять, то это информацию даёт разве что о том, что пора пить чай, а вот если стало известно, что Джим находился в момент преступления за сотни миль от места, где оно совершилось, то у него "железное" алиби. Что здесь имеется в виду под "новой информацией"? Сокращение списка подозреваемых (до Джека и Джона).

Ситуация может быть несколько сложнее. Скажем, может стать известно, что Джон накануне сильно проиграл в карты, и это увеличивает подозрение в том, что ему могли понадобиться деньги, что в итоге толкнуло бы его на преступление. Но в любом случае, подразумевается, что как-то сократилось число рассматриваемых случаев. (Под "случаями" можно понимать, например, те версии преступления, которыми располагает наш сыщик.) Посмотрим, что в этом смысле имеет место для нашего примера.

Вот ведущий открывает третью дверь. Даёт ли это новую информацию? Безусловно, да. Из 300 случаев, которые мы ранее рассматривали, остаётся всего 200. И в 100 из них автомобиль находится за первой дверью, в 100 -- за второй, откуда можно вроде бы сделать вывод, что оба шанса равны 1/2.

Однако всё не так просто. Давайте немного "измельчим" наш сценарий. Здесь удобно считать, что все призы уже разыграны, а мы просто смотрим оставшуюся после этого видеозапись. И анализируем все случаи, когда открыта была третья дверь.

Сколько же будет таких случаев? В самом ли деле 200? Давайте это выясним.

Прежде всего, в тех 100 случаях, когда автомобиль был за второй дверью, открыта будет третья. И мы всё это просмотрим в записи. Но из тех 100 случаев, когда автомобиль был за первой дверью, ведущий по условию открывает вторую или третью дверь с равной вероятностью! Если бы не это обстоятельство, то всё могло быть иначе. А так -- у нас налицо только 50 эпизодов из 100. Мы попросили принести нам все записи, где открывалась третья дверь; вот нам их и принесли -- ровно 150 штук. В 100 из них автомобиль находился за второй дверью, а в 50 -- за первой. И поэтому мы видим, что шансы того, кто не менял выбор, составляли 50 из 150, а шансы того, что менял -- 100 из 150. То есть мы по-прежнему имеем тот же итог: 1/3 и 2/3.

Какие выводы отсюда можно сделать? Как только в рассуждении используются "абстрактные" понятия, теряется связь с реальностью. Мы уже просто сами перестаём понимать, о чём мы говорим. Стоит всё прояснить, стоит каким-либо способом вступить с реальностью в "коннект" -- и вот он, верный и убедительный ответ как "на блюдечке с голубой каёмочкой"!

Однако этот анализ может не создать ощущение полного "комфорта" у того, кто рассуждал. Он всё понял, но остался "осадок". Ведь ему же точно подсказывало "чутьё", или "интуиция", что вероятность равна 1/2. И вот тут я считаю нужным сделать завершающий "аккорд". А именно, выяснить, что же именно подсказывала интуиция. Она, как я свято верю, сама по себе никогда нас не обманывает, и если есть уверенность, что она нам что-то подсказала, то можно не сомневаться: она подсказывала верно! Просто мы могли не то "расслышать", как это часто бывает.

Итак, что же тут в самом деле было равно 1/2? Предположим, что автомобиль находится либо за первой, либо за второй дверью. (Например, это стало известно за счёт "агентурных данных".) Какова тогда вероятность (её называют "условной"), что автомобиль за первой дверью? Мы не доверяем "абстрактному", поэтому снова обратимся к реальности. Всего есть 200 случаев, где автомобиль за первой дверью в 100 из них, а в 100 оставшихся -- за второй. То есть данные условные вероятности в самом деле равны 1/2. Интуиция всё подсказывала верно: человек имел в виду именно эти "половинки".

Кому-то может показаться, что возникло противоречие: получились разные ответы! Но тут надо просто спокойно разобраться. Ответы в самом деле разные, но это потому, что промежуточные задачи, которые были разобраны -- тоже разные! Вспомним, что у нас было 150 случаев там, где получились ответы 1/3 и 2/3. А тут -- случаев было 200. Но одно и другое выглядит похоже. Поэтому надо просто чётко записать, что мы нашли в одном и в другом случае. Удобно сделать это в терминах условной вероятности.

Итак, 1/3 есть вероятность нахождения автомобиля за первой дверью -- при условии, что ведущий открыл третью дверь. А 1/2 -- это вероятность нахождения автомобиля за первой дверью -- при условии, что автомобиль находится либо за первой дверью, либо за второй. И это вещи совершенно разные, то есть противоречия тут нет.

Тут надо только обратить внимание на одно обстоятельство. Два условия, для которых мы находили условные вероятности, находятся в определённой связи, хотя и не тождественны. В самом деле, ЕСЛИ ведущий открыл третью дверь, ТО автомобиль находится за одной из первых двух. Но обратное -- неверно! Это очень легко понять: если автомобиль за первой дверью, то второе условие выполнено, а первое -- не всегда, так как при этом может быть открыта вторая дверь, а не третья. Условия различаются, и нет ничего удивительного, что различаются и условные вероятности.

Полезно вспомнить также, что первое условие выполняется в 150 случаях из 300, а второе -- в 200 случаях. То есть вторая "область" шире первой. При расширении "области", на которой выполнено некое условие, вероятность может, вообще говоря, как увеличиться, так и уменьшиться. Это зависит от того, насколько велики или малы наши шансы для тех случаев, которые образуют "зазор" между условиями. Здесь этот "зазор" состоит из 50 случаев, где автомобиль находится за первой дверью, а открывается -- вторая. Во всех этих случаях выигрывает тот, кто ставит на первую дверь. И потому нет ничего удивительного, что его шансы увеличились с 1/3 до 1/2 при добавлении этих "удачных" для него случаев.

Но и это не всё. Сейчас я хочу рассмотреть ситуацию, когда "оппонент" идёт на последний решающий штурм! Он говорит: я всё понял -- и с ответом, и с условными вероятностями, но вот вам рассуждение, где у меня снова получается ответ 1/2. И найдите, наконец, в нём ошибку -- тогда я полностью успокоюсь! :)

Итак, какова вероятность нахождения автомобиля за первой дверью -- при условии, что автомобиль либо за первой дверью, либо за второй? Мы только что доказали -- это 1/2. А какова вероятность нахождения автомобиля за первой дверью -- при условии, что автомобиль либо за первой дверью, либо за третьей? Тоже 1/2, по тем же соображениям. Так разве отсюда не следует, что вероятность всегда равна 1/2 -- коль скоро эти случаи всё исчерпывают, и вероятность в каждом случае составляет ровно 1/2?

Ответ: нет, не следует. Чтобы это осознать, рассмотрим такой простой пример. Я играю в какую-то игру три дня подряд. Во вторник я оказался в выигрыше, а в каждый из дней -- в понедельник и в среду -- "фортуна" мне не улыбнулась. В какой части случаев я выигрывал? Тут видно, что в одном из трёх. Но теперь представим себе, что за мной наблюдали два зрителя. Один из них смотрел, как я играю в понедельник и вторник, и увидел, что в половине случаев я выигрывал. А другой приходил во вторник и среду, и тоже решил, что я выигрываю в половине случаев. Потом два зрителя встретились, сравнили свои наблюдения, и пришли к выводу, что я неплохой игрок -- выигрываю в половине случаев! Ясно, что они применили некий принцип наподобие того, что было сделано выше, и пришли к заведомо ошибочному выводу, завысив мою способность выигрывать.

Легко заменить, что могло быть и наоборот. В самом деле, пусть я выигрывал в понедельник и среду, а проигрывал во вторник. Тогда "наблюдатели", описанные выше, оценят мои шансы в те же 50%, в то время как я теперь стал в два раза "удачливее" и стал выигрывать в двух случаях из трёх.

И последнее, что я хотел здесь сказать: если имеются два случая, которые "покрывают" всё, и при этом сами не "перекрываются", то тогда можно применять этот принцип. То есть если в каждом случае получается условная вероятность 50%, то и "безусловная" вероятность такая же. Это очень легко следует из определений. Но когда случаи пересекаются, как в нашем случае (по "вторнику" -- как в только что рассмотренном примере, или по нахождению автомобиля за первой дверью -- как в последней попытке "оппонента" порассуждать), то никаких выводов сделать уже нельзя. Точнее, какие-то выводы сделать можно, но не о точном значении вероятности, а о её нахождении в определённых пределах. Скажем, если два "наблюдателя" увидели результат в 50%, то "истинное" значение вероятности заключено в пределах от 1/3 до 2/3, что желающие могут проверить.

Выводы из всего сказанного пусть каждый делает сам. Для меня здесь несомненно только одно: использование "абстракций" -- вещь рискованная. Особенно если разорвана связь с реальностью, и уже не вполне понятно, что они значат. Поэтому важно никогда не разрывать эту связь. Здесь можно вспомнить о том, как это слово звучит по-латыни: "religio".

Знания мы получаем из опыта, а любой опыт есть по сути дела опыт связи с реальностью, "религиозный опыт". И он -- что особенно важно -- доступен каждому, а не только "жрецам" -- будь то "жрецы" науки, или "жрецы" каких-то культов.

К ОБСУЖДЕНИЮ
Subscribe
Comments for this post were disabled by the author