?

Log in

No account? Create an account
Jornal do Falcão
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Friday, December 25th, 2009

Time Event
7:33p
теорема Гёделя о полноте -- 1
Этот пост я планировал написать чуть ли не с лета, но всё как-то откладывал и откладывал. Но вот в недавней френд-ленте мне встретилось упоминание о том же самом, и я в комментах пообещал, что напишу планируемый пост в самое ближайшее время. Как и предыдущие мои посты, затрагивающие логическую тематику (некоторые из записей перечислены здесь), он идёт как открытый. Комментарии отменены, а для обсуждения я завожу, как обычно, отдельный пост (тоже открытый).

Как обычно, мой текст адресован всем, кто сколько-нибудь интересуется логической проблематикой. Писать я стараюсь всегда в "популярном" стиле, то есть стремлюсь к тому, чтобы не требовалось специальных знаний, и текст мог быть понят, например, теми, кого называют "гуманитариями". Кроме того, я даже в постах на тему математической логики, стремлюсь не перегружать читателя обилием формул, в которые надо вникать. В идеале, такого рода текст должен читаться примерно как художественная литература, то есть всё должно усваиваться "в первом чтении". (Правда, скорость восприятия должна быть замедленной по сравнению с обычной.) В то же время, я стараюсь излагать всё без смысловых искажений и упрощений, которыми нередко "грешат" авторы популярных текстов. Но я стараюсь передавать смысл, что называется, "без потерь".

Текст я разделяю на две части, а изложение разбито на отдельные пункты. В первой части, то есть в данном посте, информация даётся в основном "вводная", а собственно доказательство теоремы я изложу в одном из следующих постов. При "сокращённом" варианте чтения, можно пункты 2 и 4 лишь "пробежать глазами", так как они в большей степени посвящены обоснованию значимости обсуждаемого результата. А вот на пункты 1, 3 и особенно 5 следует обратить особое внимание, так как это важно для понимания доказательства.

1. Начать я хочу с того, что не следует путать теорему Гёделя о полноте, которой посвящён этот пост, со знаменитыми теоремами Гёделя о неполноте (о которых я когда-то уже писал, и которым не так давно посвятил серию постов fregimus). Тут речь идёт о "полноте" и "неполноте" совершенно разных вещей. "Неполнота" относится к свойствам формальных теорий, в которых оказывается принципиально невозможно доказать всё, что нам бы хотелось; в таком смысле этот результат можно назвать "пессимистическим". То же, о чём я хочу написать здесь, есть результат в каком-то смысле противоположного характера, и его можно причислить к "оптимистическим". Здесь слово "полнота" относится к системе правил логических рассуждений. Оказывается, что эти правила (которые я описывал в своих старых постах и которые ниже коротко напомню), оказываются достаточно "полными" для того, чтобы с их помощью можно было провести любое математическое рассуждение.

Сейчас я прежде всего сформулирую теорему о полноте в "сжатой" форме, чтобы было понятно, о чём будет идти речь. Кратко это будет звучать так: всякая непротиворечивая формальная теория имеет модель. Смысл этого утверждения вот какой. Допустим, у нас имеется некоторый набор формальных положений, записанных на логическом языке. Такой набор положений мы будем называть "формальной теорией". Предположим, что из этих положений невозможно вывести логическое противоречие (то есть наша теория "непротиворечива"). Теорема утверждает, что все наши формальные положения можно так проинтерпретировать в содержательном виде, что они станут в этой интерпретации истинными. Это и подразумевается под построением "модели" данной теории.

То есть, если совсем коротко: всякий непротиворечивый набор формальных положений что-нибудь да описывает.

Collapse )
7:39p
теорема Гёделя о полноте (обсуждение)
Для обсуждения этого поста.

Current Mood: busy

<< Previous Day 2009/12/25
[Calendar]
Next Day >>
About LiveJournal.com