Falcão (falcao) wrote,
Falcão
falcao

  • Mood:
  • Music:

парадокс двух конвертов

Какое-то время назад мне попался на глаза этот парадокс, и захотелось его немного пообсуждать. Как и все посты с подобного рода тематикой, он идёт без "замка".

Обычно в формулировке рассматривают два конверта, в одном из которых лежит вдвое больше денег, чем в другом. Я решил заменить конверты на шкатулки, а сумму сделать больше в десять раз -- вместо двух -- чтобы смотрелось эффектнее. Вот как выглядит ситуация при таком "переложении".

Игроку приносят две совершенно одинаковые на вид шкатулки. Известно, что в каждой из них лежит какая-то сумма денег, количество которых заранее не известно. Однако, в соответствии с правилами, точно известно следующее: сумма денег в одной из шкатулок ровно в 10 раз больше суммы денег в другой шкатулке. Игрок выбирает одну из шкатулок и просит её открыть, после чего эти деньги ему отдают. Никакой "инсайдерской" информацией никто не обладает, поэтому выбор происходит наугад.

Теперь представим себе, что игрок указал на одну из шкатулок, и ведущий готов её открыть, но просит игрока немного поразмышлять. Он говорит следующее: нам не известно, сколько денег лежит в выбранной шкатулке, а потому давайте обозначим его через X. Сколько тогда может лежать денег во второй шкатулке? Либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше. То есть либо 10X, либо X/10. И шансы одного и другого представляются равными, так как выбор шкатулки происходил наугад. С учётом этого встаёт вопрос, а не будет ли выгодно сменить выбор?

Можно ничего не менять и уйти, забрав X. А если предпочесть другую шкатулку, то возможны два равновероятных исхода. Выбор суммы X/10 будет означать то, что мы проиграем 9X/10 в случае неудачи. А выбор суммы 10X будет означать, что мы выиграем 9X, то есть аж в десять раз больше!

Чтобы представить себе всё это нагляднее, допустим, что в выбранной нами шкатулке лежит 100 каких-то "условных" денежных единиц (рублей, долларов, тугриков -- чего угодно). В другой шкатулке -- либо 10 таких же единиц, либо 1000. при равновероятном выборе, мы фактически бросаем "монетку", и нам либо достаётся 900 дополнительных у.е., либо мы проигрываем 90. Ясно, что практически каждый, кому предложили бы сыграть на таких условиях, согласился бы, практически не задумываясь.

И вот наш игрок, поддавшись на уговоры, всецело убеждается в том, что сменить выбор ему очень выгодно. Он указывает на вторую шкатулку и говорит: давайте откроем её. Ведущий хитро "ухмыляется", а потом говорит: очень хорошо, но давайте ещё немного подумаем. Не будет ли выгодно сменить выбор, потому что ... и далее повторяет в точности то же самое рассуждение! :)

Конечно, во всём этом есть явный "подвох". Здравый смысл говорит нам, что менять выбор нет никакого смысла: обе шкатулки неотличимы на вид. Тогда в чём же дело? Где ошибка в рассуждении, внешне выглядящем совершенно убедительно? Под "катом" я хочу это дело проанализировать.


Я начну с того, что сначала приведу "безошибочное" рассуждение, которое показывает, что шансы выиграть совершенно одинаковы при выборе между разными шкатулками. Это в принципе и так ясно, но уместно лишний раз в этом убедиться на примере следующего рассуждения.

Организаторы игры положили сколько-то денег в одну и в другую шкатулку. Пусть Y есть меньшая из этих сумм (мы её не знаем); тогда большая из них равна 10Y. Мы выбираем наугад между шкатулками. Оба случая равновероятны. Если мы выбрали шкатулку, где лежит Y, то при смене выбора мы выигрываем 9Y. Однако могло быть так, что мы выбрали шкатулку с содержимым 10Y. Тогда при смене выбора мы проигрываем такую же сумму 9Y. "Всё поровну, всё справедливо".

Кто-то, согласившись с этим (что вообще-то правильно), может оказаться полностью удовлетворён: разгадка нашлась! Однако наличие правильного объяснения не устраняет пока основную "интригу". Мы и без того знали "ответ", руководствуясь здравыми смыслом. Но при этом было не вполне понятно, каким образом "вкралась" ошибка в то рассуждение, которое создавало "иллюзию" выгодного обмена? Именно это нужно в первую очередь объяснить. Где именно мы рассуждали неправильно? На какие ошибочные допущения опирались?

Верно ли, например, то, что при выборе шкатулки наугад, содержимое другой шкатулки будет с вероятностью 1/2 либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше? Да, это верно в следующем смысле: если я буду много раз играть в такую игру, то примерно в половине случаев случится первое (в другой шкатулке в 10 раз больше), и в половине случаев -- второе (в другой шкатулке в 10 раз меньше). Может, тогда ошибка в том, что мы обозначили какую-то не известную нам величину через "икс"? И тут тоже ничего "криминального" не просматривается: это сплошь и рядом происходит при решении элементарных школьных задач.

Прежде чем идти дальше, я предлагаю обратить внимание вот на какое обстоятельство. Рассуждение, проводимое "от имени" ведущего, является совершенно общим, и оно никак не зависит от того, какое именно количество денег положили в шкатулки. Лишь бы выполнялось основное условие о разнице в 10 раз. А так -- никто не запрещает в одном "туре" положить 1 рубль и 10, в другом -- 100 рублей и 1000, в третьем -- 2 доллара и 20. Поэтому я предлагаю рассмотреть частный случай, когда во всех турах без исключения шкатулки "наполняются" одинаково. Ведь если рассуждение верно "вообще", то оно верно и для этого частного случая. А поскольку он проще, то проще будет и обнаружить ошибку.

Итак, пусть в одну из шкатулок всегда кладётся 1 рубль, а в другую 10 рублей. Мы даже можем считать, что об этом знает как ведущий, так и игрок (заглядывать внутрь при этом запрещено). И вот теперь возможны два случая. В первом из них игрок выбрал шкатулку, в которой лежит 10 рублей. Верно ли то, что в другой шкатулке "с вероятностью 1/2" лежит либо 1 рубль, либо 100 рублей? Очевидно, что нет, потому что 100 рублей в этих розыгрышах не участвуют вообще никогда. Верно то, что при таком выборе другая шкатулка наверняка содержит 1 рубль. А во втором случае, если мы указали на шкатулку с одним рублём, в другой опять же наверняка будет 10 рублей. Никаких 10 копеек точно не будет.

Есть ли здесь противоречие с тем, что было сказано выше? Нет, потому что хотя сам выбор делается наугад, с вероятностью 1/2, однако после того, как он уже сделан, исход от нас не зависит, и о его "вероятности" говорить не вполне уместно. Это примерно как если монетка упала "орлом", и мы это видим, вряд ли содержательно будет вспоминать тот факт, что она могла упасть и "решкой".

К чему же здесь относятся слова про "одну вторую"? Я бы представил это дело так: когда мы имеем дело с равновероятными исходами, можно говорить о "симметричных" ситуациях, и именно их анализировать. Монетка может упасть "орлом"; симметрично этому её выпадение "решкой". Заметим, что эти ситуации совершенно разные, и они друг с другом "несовместимы", поэтому анализировать их мы должны по отдельности. В том случае, когда игрок выбрал шкатулку с 10 рублями, "симметричной" будет ситуация, когда он выбрал шкатулку с одним рублём. И такая ситуация должна анализироваться в дополнение к первой.

Что же сделано в рассуждении вместо этого? Когда выбор (с 10 рублями) уже сделан, и "симметрия" тем самым нарушена, рассматривается равновероятный выбор между двумя случаями -- когда во второй шкатулке либо 1 рубль, либо 100. Как мы видели выше, действительности это не соответствует. Верно, правда, вот что: если уже после того, как шкатулка выбрана, во вторую кладут 1 или 100 с равной вероятностью, то тогда смена выбора действительно выгодна. И именно это доказывает рассуждение ведущего. Так всегда бывает, что если некоторое рассуждение кажется "верным", оно непременно устанавливает некую "истину", но совершенно не всегда ту, которая имелась в виду.

То есть уже на этом уровне ошибку можно считать обнаруженной: мы поняли, что рассуждение верно описывает другую ситуацию -- с наполнением второй шкатулки после выбора первой. Чего в действительности просто нет.

Однако здесь есть смысл сказать ещё несколько слов. Прежде всего, это касается величны "икс", которая действительно может быть введена, но надо чётко понимать, что она означает. Это всего лишь сумма денег в шкатулке, на которую мы указали в определённой ситуации. Но сам факт указания есть нарушение "симметрии", и тогда мы обязаны рассмотреть и вторую ситуацию, в которой выбирается другая шкатулка. Но её содержимое уже заведомо не равно X, и поэтому при анализе "симметричной" ситуации, которая должна быть рассмотрена "наряду" с первой, мы должны выбрать другое обозначение. Через "икс" можно обозначить что угодно, но только если эта переменная "свободна", если её значение не было конкретизировано в предыдущей части рассуждения. Когда рассуждение полностью завершено, мы обычно "забываем" все значения, и в новой независимой задаче разрешаем под "иксом" понимать нечто совем другое. Но вероятностное рассуждение того типа, о котором мы говорим, состоит из двух "половинок". При подсчёте "выгоды" должен быть принят единый "масштаб", хотя сам выбор этого "масштаба" произволен. Нельзя в одном случае говорить, что здесь я выиграл 200, а там проиграл "всего" 10, если речь о разных "единицах": выиграть 200 рублей, проиграв затем 10 евро, явно невыгодно.

Поэтому и "иксы" здесь должны быть разные. Если я изначально выбрал шкатулку с большим содержимым, обозначив её за X, то в "симметричном" варианте я выберу уже не X, а всего лишь X/10. Опять же, рассуждение ведущего станет верным, если предположить следующее "волшебное" превращение денег в шкатулках: при указании мной на меньшую сумму денег, всё вдруг само "масштабируется" и увеличивается в 10 раз в обеих шкатулках. При таком положении дел, конечно, обмен будет выгоден.

Мне не хочется писать слишком длинный текст, так как я знаю, что "многабукаф" читают только "истинные любители", а мне хотелось бы быть понятым по возможности всеми. В принципе, кому-то может хватить сказанного выше, а для желающих прочитать остальное я добавлю несколько слов. Представим себе теперь, что количество денег в шкатулках может меняться от игры к игре, и мы играем много раз. Допустим, что в половине случаев мы выбирали меньшую сумму денег, а в половине -- большую. Пусть n раз происходило как то, так и другое, и пусть a1, a2, ..., an -- меньшие из выбранных нами величин, сумма которых составляет A, и пусть b1, b2, ..., bn -- большие из выбранных величин, сумма которых составляет B. Понятно, что игрок, никогда не меняющий выбора, получит в результате игры сумму A+B. Тот же, кто каждый раз менял выбор и забирал содержимое другой шкатулки, получит 10A+B/10. Больше это или меньше? Рассмотрим разность величин, то есть (10A+B/10)-(A+B); она составляет 9(A-B/10). Если мысленно "приравнять" A и B между собой "из соображений симметрии", то разница в выигрыше окажется каким-то положительным числом, то есть получится, что выгодно менять выбор. Однако "симметрии" тут нет по причине того, что величина A относится к выбору меньшей суммы, а B -- к выбору большей суммы. Понятно, что вторая величина "в среднем" должна в 10 раз превышать первую -- если считать, что "удачный" и "неудачный" выбор делаются независимо от величины наполнения шкатулок. То есть тогда B "приблизительно" равно 10A, и рассмотренная нами разность "приблизительно" равна нулю, как и должно быть.

И самое последнее: можно попытаться рассмотреть такой пример, когда в разных розыгрышах с равной вероятностью приносятся шкатулки, в которых лежат то 1 и 10, то 10 и 100, то 100 и 1000, и так далее. Здесь уже будет верно то, что если я вижу перед собой какую-то сумму, то мне с примерно равной вероятностью "перепадёт" что-то в 10 раз больше или в 10 раз меньше того, что я имею. Но "подвох" вот в чём. Если у игры нет "потолка", то теряется "равновероятность" по причине того, что у бесконечного числа "непересекающихся" событий не может быть "равной" вероятности, отличной от нуля. Даже если что-то похожее на "приблизительное" равенство вероятностей "соседних" событий указать удастся, то "математическое ожидание" выигрыша станет равно бесконечности. И тогда нет ничего удивительного в том, что оно окажется вдвое, второе, в 10 раз и т.п. "больше самого себя": бесконечные величины сравнивать в этом смысле некорректно. А вот если "потолок" есть, и составляет он 1000...000, с n нулями после единицы, то несложные подсчёты приводят вот к какому выводу. Да, в "промежуточных" ситуациях мы при смене выбора шкатулки будем иметь "гарантированный" средний выигрыш, и такие ситуации будут выпадать почти всегда (с вероятностью, близкой к единице). Однако "крайняя" ситуация и отказ от неё в пользу величины, в 10 раз меньшей, всю эту нашу выгоду разом "съест". Легко понять, что сумма всех чисел кроме последнего имеет вид 1+10+100+...+1000...0, то есть составит 1111...1, что в 9 раз меньше числа 9999...9, а потому более чем в 9 раз "уступает" последнему "круглому" числу списка.

На этом хочу закончить, а если будет что обсудить, то добро пожаловать в комменты. Как обычно, прошу воздержаться от "йумора", то есть от неостроумных шуток, которые нередко доводиться слышать при разговорах о выигрышах и проигрышах.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 57 comments