Category: спорт

Category was added automatically. Read all entries about "спорт".

тигр

задача дня -- 8

Давным-давно ничего уже здесь не писал. Октябрь у меня традиционно является "авральным" месяцем, а в этом году он был таковым вдвойне. Нужно было в сжатые сроки составить задачи сразу к двум местным олимпиадам. Но я вроде как справился (несмотря на неудачно составленное расписание в этом семестре), так что теперь можно и в ЖЖ заглянуть. За время моего "бездействия" так называемый "социальный капитал" журнала упал до отметки "ниже 10". Что, впрочем, когда-то уже было. Но это я так, чисто для информации. А теперь собственно задача.

Она в этот раз не олимпиадная, не из области "занимательного" наподобие "головоломок", поэтому, скорее всего, заинтересует меньший круг читателей. Это упражнение по матанализу, не слишком трудное, но мне понравилось условие. Вот оно.

Дан сходящийся числовой ряд a_1+a_2+...+a_n+... . Обязательно ли сходится ряд из синусов, то есть sin(a_1)+sin(a_2)+...+sin(a_n)+... ?

Замечу на всякий случай, что для знакопостоянных рядов эта задача тривиальна. А как обстоит дело в общем случае?

Думаю, что многие эту задачу решат, и в данном случае комментарии я до времени буду скрывать. Тем более, что интересно было бы увидеть разные способы решения.

UPD (25.12.16) Комментарии я раскрыл (на самом деле, это давно надо было сделать). Спасибо всем, кто участвовал в обсуждениях. Предложенные здесь способы решения основаны примерно на одних и тех же соображениях. К тому решению, которым я располагал, ближе всего оказались рассуждения mikev.
тигр

задача дня -- 1

Решил ввести у себя эту рубрику. Она будет предназначена для тех, кто интересуется математикой. Остальные могут смело её пропускать :)

Посты в этой серии будут открытыми. Я буду время от времени (без какой-либо регулярности) помещать условия задач, которые меня заинтересовали. Комментарии скрывать, как правило, не буду.

Вот условие первой задачи.

Дана числовая последовательность x(n), заданная рекуррентно, где x(1)=a -- фиксированное число интервала (0;1), и далее x(n+1)=x(n)+x(n)^2/n^2. Требуется доказать, что эта последовательность ограничена.

UPD (14.04) Один мой коллега прояснил происхождение этой задачи. Оказывается, она есть в сборнике Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. 1987. Задача под номером 15, она предлагалась на мехматской олимпиаде. Решение там дано примерно такое, как здесь изложил rus4.

А вот какое решение было известно мне (придумал его не я). Сначала по индукции доказываем, что x(n) < an. Далее подставляем это значение и улучшаем оценку: x(n+1)=x(n)(1+x(n)/n^2) < x(n)(1+a/n) < x(n)*exp(a/n). Отсюда x(n+1) < a*exp(a(1+1/2+...+1/n)) < Cn^a, поскольку гармонические суммы растут примерно как ln n. Наконец, делаем третий "заход", после которого тем же способом получается x(n+1) < x(n)(1+1/n^{2-a}), и далее всё следует из сходимости ряда с общим членом 1/n^{2-a} ввиду 2-a > 1.
тигр

новая победа

Portugal - Holanda 1:0

Maniche рулит!!! Когда я впервые услышал его имя, то в моей голове сразу возникло выражение "родился в манишке" :)

Интересно, что соперники попадаются те же, что и на чемпионате Европы. Следующий -- Англия. Только порядок обратный. А вот Греции нет, и не надо :)


Collapse )
Funchal, ilha da Madeira (Фуншал, остров Мадейра)
vinho verde

"хомутное": собственный опыт выбора

В предыдущей моей записи речь шла о выборе себе подходящего "хомута". Я сказал там, что у меня этот выбор происходил весьма благополучно. Далее neron_neuronov попросил меня рассказать подробности, что я здесь и делаю. Речь идёт прежде всего о выборе профессии.
Collapse )
  • Current Music
    Roberto Menescal -- Vagamente
  • Tags